불 대수

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1. 개요

불 대수는 다양한 정의를 가지며, 서로 동치 관계에 있다. 유계 격자, 가환환, 위상 공간의 범주 등 여러 수학적 구조를 통해 정의될 수 있다. 불 대수는 두 개의 이항 연산(∧, ∨), 하나의 일항 연산(¬)과 두 원소(0, 1)을 가진 집합으로, 결합, 교환, 흡수, 분배, 여집합 등의 공리를 만족한다. 불 대수는 격자론에서 보수 분배 격자를 의미하며, 논리 연산, 환 연산, 격자 연산, 위상 공간 연산, 범주론적 연산 등을 통해 서로 연결된다. 불 대수는 완비 헤이팅 대수, 완비 격자, 시그마 대수 등과 관련되며, 아이디얼, 필터, 소수 아이디얼, 극대 아이디얼 등의 성질을 갖는다. 2원 부울 대수, 멱집합, 자유 불 대수 등이 있으며, 논리학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에 응용된다. 조지 불에 의해 처음 도입되었으며, 셰퍼에 의해 '불 대수'라는 용어가 사용되었고, 스톤 표현 정리가 증명되었다.

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드 모르간의 법칙은 명제 논리, 술어 논리, 집합론, 부울 대수 등에서 결합 또는 분리의 부정을 각 요소의 부정의 분리 또는 결합으로 표현하는 논리적 원리이다.
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불 대수
개요
분야	수학
하위 분야	대수학
분류	격자
대수 구조	반환, 준격자, 격자, 부울 대수
정의
정의	모든 원소에 대해 여원을 갖는 분배 격자 또는 보완 격자
속성	합, 교집합, 여집합, 포함 관계와 같은 연산 및 관계를 모형화
예시	집합론에서의 멱집합 논리학에서의 명제 회로 이론에서의 스위치 회로
기본 연산
논리곱 (∧)	교환 법칙, 결합 법칙, 멱등 법칙, 흡수 법칙 만족
논리합 (∨)	교환 법칙, 결합 법칙, 멱등 법칙, 흡수 법칙 만족
여원 (¬)	드 모르간 법칙 만족
역사
창시자	조지 불
초기 연구	클로드 섀넌의 스위치 회로 연구
응용 분야	논리학 집합론 컴퓨터 과학 회로 이론
부울 대수와 관련 있는 구조
관련 구조	격자, 반환, 준격자
확장 개념	헤이팅 대수
형식적 정의
기본 조건	반환 구조, 두 개의 이항 연산(∧, ∨), 하나의 단항 연산(¬), 두 개의 상수(0, 1)
공리	교환 법칙: a ∧ b = b ∧ a , a ∨ b = b ∨ a 결합 법칙: (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) , (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) 분배 법칙: a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) , a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) 항등원: a ∧ 1 = a , a ∨ 0 = a 여원: a ∧ ¬a = 0 , a ∨ ¬a = 1
기본 정리	드 모르간 법칙, 흡수 법칙, 멱등 법칙 등
다른 관점
논리적 해석	참과 거짓을 다루는 명제 논리 연산의 형식화
집합론적 해석	합집합, 교집합, 여집합 등의 집합 연산의 형식화
순서론적 해석	격자를 통한 부분 순서 관계의 표현

2. 정의

불 대수는 여러 가지 방법으로 정의할 수 있으며, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

특정 조건을 만족시키는 유계 격자, 직교 여원 격자, 헤이팅 대수로 정의할 수 있다.
특정 조건을 만족시키는 가환환으로 정의할 수 있다.
'''스톤 공간'''(Stone space^영어)이라는 특정 위상 공간의 범주의 반대 범주로 정의할 수 있다. 이를 통해 불 대수를 특정 위상 공간 속의 특정 집합족으로 나타낼 수 있다.

이 정의들은 스톤 표현 정리를 통해 서로 동치임이 증명되었다.

2. 1. 직교 여원 격자를 통한 정의

직교 여원 격자에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 직교 여원 격자를 '''불 대수'''라고 한다.

분배 격자이다.
임의의 원소 $x\in L$ 에 대하여, $c\land x=\bot$ 이며 $c\lor x=\top$ 인 $c\in L$ 가 유일하게 존재한다. (이는 물론 $\lnot x$ 이다.)
(엘칸 법칙 Elkan’s law^영어) 임의의 $x,y\in L$ 에 대하여, $\lnot(a\land\lnot b)=b\lor\lnot a\land\lnot b$ 이다.^[4]
직교모듈러 격자이며, 임의의 원소 $x\in L\setminus\{\bot\}$ 에 대하여, 다음 세 조건들을 만족시키는 함수 $s\colon L\to\{0,1\}$ 가 존재한다.^[5]
* $s(\top)=s(x)=1$
* 임의의 $a,b\in L$ 에 대하여, $s(a\lor b)\le\max\{s(a),s(b)\}$
* 임의의 $a,b\in L$ 에 대하여, $a\le\lnot b$ 라면 $s(a\lor b)=\max\{s(a),s(b)\}$

불 대수의 '''준동형'''은 여원과

\top

및

\bot

을 보존시키는 격자 준동형이다. 불 대수의 정의는 대수적이므로, 불 대수의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.

2. 2. 유계 격자를 통한 정의

유계 격자

L

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 격자를 '''불 대수'''라고 한다.^[6]

모듈러 격자이며, 임의의 $x\in L$ 에 대하여, $x\land c=\bot$ 이자 $x\lor c=\top$ 인 원소 $c\in L$ 가 유일하게 존재한다.
분배 격자이며, 임의의 $x\in L$ 에 대하여, $x\land c=\bot$ 이자 $x\lor c=\top$ 인 원소 $c\in L$ 가 적어도 하나 이상 존재한다.
임의의 $x\in L$ 에 대하여, $x\land c=\bot$ 이자 $x\lor c=\top$ 인 원소 $c\in L$ 가 유일하게 존재하며, 또한 $\textstyle x=\bigvee A$ 인 $A\subseteq\min(X\setminus\{\bot\})$ 가 존재한다.^[7]

여기서

\min(X\setminus\{\bot\})

는 부분 순서 집합

X\setminus\{\bot\}

의 극소 원소들의 집합이다.

2. 3. 헤이팅 대수를 통한 정의

헤이팅 대수

H

에서,

:

\lnot x=(x\implies\bot)

를 정의한다. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 헤이팅 대수를 '''불 대수'''라고 한다.

(involution|인볼루션|대합^영어) $\lnot$ 은 대합이다. 즉, 임의의 $x\in H$ 에 대하여, $\lnot\lnot x=x$ 이다.
(law of excluded middle|로 오브 익스클루디드 미들|배중률^영어) 모든 원소 $x\in H$ 에 대하여, $x\lor\lnot x=\top$ 이다.

이 경우,

(H,\lnot)

은 직교 여원 격자를 이룬다.

2. 4. 환론적 정의

(단위원을 갖는) 환

R

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 '''불 대수'''라고 한다.

모든 원소가 멱등원이다. 즉, 모든 $x\in B$ 에 대하여, $x^2=x$ 이다.^[16]
$R$ 는 유한체 $\mathbb F_2$ 의 직접곱 $\mathbb F_2^{\times\kappa}$ 의 부분환과 동형이다 ( $\kappa$ 는 임의의 기수).

특히, 자명환은 불 대수이다. (둘째 정의에서 이는

\kappa=0

에 해당한다.)

'''불 대수 준동형'''은 두 불 대수 사이의 환 준동형이다.

임의의 원소

x

에 대해 곱셈의 멱등 법칙

x^2 = x

를 만족하는 단위환

B

를 '''부울환'''이라고 한다. 이때 단위환의 공리로부터

:−

x

= (−1)

x

=

x

(-1)

이 유도되고,

: (−

x

)(−

y

) =

xy

가 유도된다. 이것들과 멱등 법칙에 의해

:

x

+

x

= 0,

xy

=

yx

을 얻는다.^[2] 즉, (곱셈이) 멱등적이고 단위적인 환은 가법에 관해 모든 원소의 위수가 2 이하인 가환환이 된다. 따라서

:

x

∧

y

=

xy

,

x

∨

y

=

x

+

y

+

xy

, ¬

x

= 1 +

x

라고 하면

B

는 부울 대수가 된다.

또

B

가 부울 대수일 때

:

xy

=

x

∧

y

,

x

+

y

= (

x

∧ ¬

y

) ∨ (¬

x

∧

y

)

라고^[3] 하면

B

는 부울환이 된다.

이 대응은 부울 대수와 부울환 사이의 자연스러운 일대일 대응을 정의하므로, 종종 이 둘은 동일시된다.

2. 5. 위상수학적 정의

'''스톤 공간'''(Stone space^영어)은 콤팩트 완전 분리 하우스도르프 공간이다.^[8] 스톤 공간의 열린닫힌집합들의 족은 유계 격자를 이룬다. 스톤 공간의 열린닫힌집합들의 족과 동형인 유계 격자를 '''불 대수'''라고 한다.

열린닫힌집합의 연속 함수 아래의 원상은 열린닫힌집합이다. 따라서, 두 불 대수

B

,

B'

에 대응하는 스톤 공간

X

,

X'

가 주어졌을 때, 연속 함수

f\colon X'\to X

는 함수

:

f^{-1}\colon B\to B'

를 유도한다. 두 불 대수 사이의 '''불 대수 준동형'''은 이와 같이 스톤 공간 사이의 연속 함수로 유도될 수 있는 함수이다.

이에 따라, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

:

\operatorname{Stone}\simeq\operatorname{Bool}^{\operatorname{op}}

이 정의가 불 대수의 다른 정의들과 동치라는 사실은 '''스톤 표현 정리'''(Stone representation theorem^영어)라고 한다.

특히, 이 정의는 환론적 정의와 다음과 같은 관계를 갖는다. 모든 가환환에 대하여, '''스펙트럼'''이라는 위상 공간을 대응시킬 수 있으며, 이는 가환환의 범주

\operatorname{CRing}

의 반대 범주에서 위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

로 가는 함자

:

\operatorname{Spec}\colon\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Top}

를 정의한다. 만약 이 가환환이 불 대수를 이룬다면 그 스펙트럼은 스톤 공간을 이룸을 보일 수 있으며, 이는 열린닫힌집합족 함자의 역함자이다. 즉, 다음과 같은 두 함자가 존재하며, 이는 범주의 동치를 이룬다.

:

\operatorname{Spec}\colon\operatorname{Bool}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Stone}

:

\operatorname{Clopen}\colon\operatorname{Stone}\to\operatorname{Bool}^{\operatorname{op}}

불 대수의 스펙트럼은 다음과 같이 직접적으로 묘사할 수 있다. 불 대수의 극대 아이디얼은 극대 순서 아이디얼과 일치하며, 불 대수의 쌍대성에 따라 이는 극대 필터와 일대일 대응한다. 따라서,

2

가 두 개의 원소의 불 대수라면, 극대 필터들의 집합은

\hom_{\operatorname{Bool}}(B,2)

이다. 이 위에 다음과 같은 기저로 생성되는 위상을 부여하면, 스톤 공간을 이룬다.

:

\{\{\mathcal U \in\operatorname{Spec}(B) \colon b \in \mathcal U\}\}_{b\in B}

이는

2

에 이산 위상을 부여하고, 멱집합

\mathcal P(B)=2^B

에 곱위상을 부여한 뒤,

\operatorname{Spec}(B)\subset\mathcal P(B)

에 부분 공간 위상을 부여한 것과 같다.

2. 6. 범주론적 정의

불 대수는 다음 조건을 만족시키는 작은 얇은 범주이다.^[9]

서로 동형인 두 대상은 같다.
유한 완비 범주이며 유한 쌍대 완비 범주이다.
데카르트 닫힌 범주이다.
임의의 두 대상 $X,Y\in\mathcal C$ 에 대하여, 다음과 같은 동형이 존재한다. (이들은 드 모르간 법칙을 범주론적 용어로 번역한 것이다.)
: $X\times Y\cong 0^{0^X\sqcup 0^Y}$
: $0^{X\times Y}\cong 0^X\sqcup 0^Y$

여기서

\times

는 범주론적 곱이며,

\sqcup

는 쌍대곱이며,

0

은 시작 대상이며,

A^B

는 지수 대상이다.

불 대수의 서로 다른 정의들은 다음과 같이 대응된다.

범주론적 정의
곱 $x\times y$
쌍대곱 $x\sqcup y$
시작 대상 $0$
끝 대상 $1$
지수 대상 $0^x$
지수 대상 $y^x$

2. 7. 서로 다른 정의들의 비교

불 대수는 논리 연산, 환 연산, 격자 연산, 위상 공간 연산, 범주론적 연산 등 다양한 방식으로 정의될 수 있으며, 이들 정의는 서로 대응된다.

집합 ''L''과 ''L'' 위의 이항 연산 ∨(합, join), ∧(교, meet)의 쌍 ⟨L; ∨, ∧⟩이 다음 조건을 만족하면 '''분배 격자'''(distributive lattice)라고 한다.

교환 법칙: ''x'' ∧ ''y'' = ''y'' ∧ ''x'', ''x'' ∨ ''y'' = ''y'' ∨ ''x''
결합 법칙: (''x'' ∧ ''y'') ∧ ''z'' = ''x'' ∧ (''y'' ∧ ''z''), (''x'' ∨ ''y'') ∨ ''z'' = ''x'' ∨ (''y'' ∨ ''z'')
흡수 법칙: (''x'' ∧ ''y'') ∨ ''x'' = ''x'', (''x'' ∨ ''y'') ∧ ''x'' = ''x''
분배 법칙: (''x'' ∨ ''y'') ∧ ''z'' = (''x'' ∧ ''z'') ∨ (''y'' ∧ ''z''), (''x'' ∧ ''y'') ∨ ''z'' = (''x'' ∨ ''z'') ∧ (''y'' ∨ ''z'')

또한, ''L''의 특별한 원소 0, 1과 단항 연산 ¬에 대해 다음이 성립하면 쌍 ⟨L; ∨, ∧, ¬, 0, 1⟩을 '''보수 분배 격자'''('''부울 격자''')라고 한다.

보수 법칙: ''x'' ∨ ¬''x'' = 1, ''x'' ∧ ¬''x'' = 0

기저 집합으로 특별한 두 원소 0, 1만을 갖는 2점 집합 {0, 1}은 부울 대수의 전형적인 예시이며, 컴퓨터 동작 원리의 이론으로도 알려져 있다. 이 대수에서는 배타적 논리합(xor)이나 부정 논리곱(nand) 등 응용상 중요한 연산자가 ∧, ∨, ¬의 조합으로 표현된다(∧ 또는 ∨도 ¬와 나머지 하나의 조합으로 표현 가능).

3. 성질

불 대수는 순서론적, 환론적, 범주론적 성질을 갖는다.

임의의 불 대수 $B$ 는 가환환이며 표수가 2이다. 즉, 모든 원소는 자신의 덧셈 역원이다.^[16] 따라서, $B$ 는 유한체 $\mathbb F_2$ 위의 결합 대수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 다항식환 $\mathbb F_2[x]$ 는 $x^2\ne x$ 이므로 불 대수가 아니다.

불 대수의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 따라서 불 대수의 범주는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 자유 대상을 갖는다.

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

:가환환 ⇐ 가환 축소환 ⇐ 가환 반원시환 ⇐ 가환 폰 노이만 정칙환 ⇐ 불 대수

3. 1. 순서론적 성질

불 대수는 완비 헤이팅 대수의 일종이다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.^[1]

\|				완비 격자	⇐	완비 헤이팅 대수	⇐	완비 불 대수
\|								⇓
\|				⇓		⇓		시그마 대수
\|								⇓
원순서 집합	⇐	부분 순서 집합	⇐	유계 격자	⇐	헤이팅 대수	⇐	불 대수

불 대수를 가환환으로 여겼을 때, 그 아이디얼은 순서 아이디얼과 일치한다.^[1]

3. 2. 환론적 성질

임의의 불 대수

B

는 가환환이고 표수가 2이다(즉, 모든 원소는 자신의 덧셈 역원이다).^[16] 따라서 유한체

\mathbb F_2

위의 결합 대수이다.^[16]

'''증명:'''

'''가환성''': 임의의 $x,y\in B$ 에 대하여 $0=(x+y)^2-(x+y)=x^2+y^2+xy+yx-x-y=xy+yx$ 이다.
'''표수 2''': 위에서 $x=y=1$ 이라면 $0=2$ 이다.

(그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 다항식환

\mathbb F_2[x]

는

x^2\ne x

이므로 불 대수가 아니다.)

3. 3. 범주론적 성질

불 대수의 모임은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 그 범주는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 자유 대상을 갖는다.^[9]

4. 예

불 대수의 예로는 멱집합, 자유 불 대수, 사유한군 등이 있다. 멱집합은 어떤 집합의 모든 부분집합을 원소로 가지는 집합이다. 자유 불 대수는 생성원들로부터 자유롭게 생성되는 불 대수이다. 사유한군은 스톤 공간을 이루는 위상군이다.

4. 1. 멱집합

임의의 집합

S

의 멱집합

\mathcal P(S)

은 크기가

2^

인 불 대수를 이룬다.^[8] 모든 유한 불 대수는 어떤 유한 집합의 멱집합과 동형이다. 공집합의 멱집합

\mathcal P(\varnothing)=\{\varnothing\}

은 가장 작은 불 대수이며,

\top=\bot

인 유일한 불 대수이다.

집합

S

의 멱집합

\mathcal P(S)

에 대응하는 스톤 공간은

S

의 스톤-체흐 콤팩트화이다.

멱집합과 동형이 아닌 무한 불 대수도 존재한다. 예를 들어, 집합

S

와 기수

\kappa

가 주어졌을 때,

:

\mathcal P_{\kappa}(S)=\left\{T\subset S|\kappa>\min\{|T|,|S\setminus T|\}\right\}

로 정의한다. 만약

\kappa=0

이거나

\kappa\ge\aleph_0

이라면, 이는 둘 다 불 대수를 이룬다.

|S|=\aleph_0

일 경우,

\mathcal P_{\aleph_0}(S)

는 크기가

\aleph_0

인 불 대수이며, 멱집합과 동형일 수 없다.

4. 2. 자유 불 대수

불 대수는 대수 구조 다양체를 이루므로, 임의의 생성원의 집합에 대응하는 자유 불 대수가 존재한다.

스톤 표현 정리에 따라, 임의의 기수

\kappa

에 대하여,

\kappa

개의 생성원으로부터 생성되는 자유 불 대수에 대응하는 스톤 공간은

\{0,1\}^\kappa

이다. 여기서

\{0,1\}

은 2개의 점을 가진 이산 공간이며,

\{0,1\}^\kappa

에는 곱위상을 준다. 이 경우,

\alpha

번째 생성원은 튜플의

\alpha

번째 성분이 1인 모든 원소들로 구성된 열린닫힌집합에 대응한다.

만약

\kappa

가 유한할 경우, 자유 불 대수의 크기는

2^{2^\kappa}

이며, 만약

\kappa

가 무한할 경우 자유 불 대수의 크기는

\kappa

이다.

4. 3. 사유한군

스톤 공간을 이루는 위상군은 '''사유한군'''이라고 한다.^[8]

5. 응용

불 대수는 논리학과 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에 응용된다. 특히, 디지털 회로 설계에 응용되는데, 디지털 회로는 전압의 높낮이(H, L)만으로 정보를 연산하므로, 플립플롭과 같은 순차 회로를 제외한 조합 회로는 불 대수의 논리식으로 표현할 수 있다. 높은 전압(H)을 1, 낮은 전압(L)을 0으로 하는 방식을 정논리, 반대로 낮은 전압(L)을 1, 높은 전압(H)을 0으로 하는 방식을 부논리라고 한다.

5. 1. 논리학

논리학에서 불 대수는 고전 명제 논리의 모형을 제공한다. 만약 고전 명제 논리를 직관 논리로 약화시키면, 불 대수 대신 헤이팅 대수를 사용하여야 한다.

5. 2. 컴퓨터 과학

불 대수는 디지털 회로 설계에 응용된다. 디지털 회로는 전압의 H(High), L(Low)만으로 정보를 연산하기 때문에, 기본적으로 조합 회로는 불 대수에 있는 논리식을 써서 나타낼 수 있다. 높은 전압(H)를 1로, 낮은 전압(L)을 0으로 하는 논리 형식을 정논리, 낮은 전압(L)을 1로, 높은 전압(H)를 0으로 하는 논리 형식을 부논리라고 한다.

6. 역사

불 대수의 개념은 1847년에 조지 불이 논리학을 형식화하기 위하여 도입하였다.^[10]^[11] 이후 불은 1854년의 저서에서 이 개념을 추가로 설명하였다.^[12] 불은 논리곱과 배타적 논리합을 기초적 연산으로 삼았는데, 이는 오늘날에 불 대수를 가환환의 일종으로 여기는 것과 같다.

이후 윌리엄 스탠리 제번스(1835~1882), 찰스 샌더스 퍼스(1839~1914), 에른스트 슈뢰더(1841~1902) 등이 불의 논리 대수의 연구를 계속하였다. 제번스는 1864년의 저서에서 불이 사용한 배타적 논리합 대신 (배타적이지 않은) 논리합을 최초로 사용하였다.^[13] 제번스는 자신의 저서에서 다음과 같이 서술했다.

Professor Boole uses the symbol + to join terms together, on the understanding that they are logical contraries, which cannot be predicated of the same thing or combined together without contradiction. […] This I altogether dispute. In the ordinary use of these conjunctions, we do not necessarily join logical contraries only; […] Take, for instance, the proposition—‘A peer is either a duke, or a marquis, or an earl, or a viscount, or a baron.’ If expressed in Professor Boole’s symbols, it would be implied that a peer cannot be at once a duke and marquis, or marquis and earl. Yet many peers do possess two or more titles, and the Prince of Wales is Duke of Cornwall, Earl of Chester, Baron Renfrew, &c.^영어

번역: 불 교수는 ‘+’ 기호를 사용하여 항들을 결합시킬 때, 이들이 서로 논리적으로 반대되는 것이라는 것을 가정합니다. 즉, 이들은 같은 대상에 모순 없이 적용되거나 결합될 수 없습니다. […] 이에 대하여 나는 이의를 제기합니다. 일상적인 접속사의 용례에서는 서로 배타적이지 않은 항들을 결합시킬 수 있습니다. […] 예를 들어, "귀족은 공작이거나 후작이거나 백작이거나 자작이거나 남작이다."라는 명제를 불 교수의 기호로 나타낸다면, 귀족이 공작이자 동시에 후작, 또는 후작이자 동시에 백작이 될 수 없습니다. 그러나 실제로는 많은 귀족들은 두 개 이상의 작위들을 소유합니다. 예를 들어, 웨일스 공은 콘월 공작이자 체스터 백작이자 렌프루 남작입니다.^[13]

1913년 논문에서 미국의 헨리 모리스 셰퍼(1882~1964)가 "불 대수"(Boolean algebra|불리언 앨지브라^영어)라는 용어를 최초로 사용하였다.^[14]^[15] 이 논문에서 셰퍼는 불 대수의 모든 연산을 부정논리곱으로서 정의할 수 있음을 보였다.

스톤 표현 정리는 마셜 하비 스톤이 1936년에 증명하였다.^[16]

참조

_[1] 문서 冪等則の扱い
_[2] 문서 부울 대수의 성질 증명
_[3] 문서 2원 부울 격자와 부울 환
_[4] 저널 인용 On orthocomplemented lattices with Elkan’s law http://www.kurims.ky[...] 2006
_[5] 저널 인용 A measure-theoretic characterization of Boolean algebras among orthomodular lattices http://www.kurims.ky[...] 1994
_[6] 저널 인용 Zur Axiomatic der Elementargeometrie 1929
_[7] 저널 인용 A characterization of Boolean algebras 1939-07
_[8] 서적 인용 Stone spaces http://www.cambridge[...] Cambridge University Press 1983-04
_[9] 저널 인용 A categorical characterization of Boolean algebras 1974
_[10] 서적 인용 The mathematical analysis of logic, being an essay towards a calculus of deductive reasoning https://archive.org/[...] MacMillan, Barclay, & MacMillan 1847
_[11] 저널 인용 The calculus of logic http://www.maths.tcd[...] 1848
_[12] 서적 인용 An investigation of the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities https://archive.org/[...] Walton and Maberly 1954
_[13] 서적 인용 Pure logic or the logic of quality apart from quantity: with remarks on Boole’s system and on the relation of logic and mathematics https://archive.org/[...] Edward Stanford 1864
_[14] 저널 인용 A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants 1913
_[15] 저널 인용 New sets of independent postulates for the algebra of logic, with special reference to Whitehead and Russell’s Principia mathematica 1933
_[16] 저널 인용 The theory of representations of Boolean algebras 1936

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